Monad 初探

引入

通过课上的例子我们可以看到，对于Sheep -> Maybe Sheep这样的操作的序贯组合，使用朴素地匹配Nothing会导致代码冗余且可读性降低。为此我们想到可以将对Nothing的处理放入函数内部处理。但对于所有的函数都进行类似的修改也是极其不方便的，因此我们将这一类操作抽象出来，放在>>=里实现。此时Maybe也由Applicative进化为了Monad。

何为Monad

详细了解Monad需要对范畴论有一定的了解。正如haskell圈里那句经典的”A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what’s the problem?”。对于有范畴论背景知识的人来说，从“自函子范畴上的幺半群”来理解确实可能更为自然，但对于小白与初学者来说，补充范畴论的相关知识确实也是一件代价高昂的事，因此我们用haskell的语言来了解这个概念，等到有需要的时候再去更深入的了解。

为了更深入的了解haskell中Monad这个类型类，首先我们使用:i Monad查看其具体的定义如下

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class Applicative m => Monad (m :: * -> *) where
  (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
  (>>) :: m a -> m b -> m b
  return :: a -> m a
  fail :: String -> m a
  {-# MINIMAL (>>=) #-}

可以看到其依存于Applicative，我们一步步溯源回去见到了Applicative和Functor

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class Functor (f :: * -> *) where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
  (<$) :: a -> f b -> f a
  {-# MINIMAL fmap #-}
  
class Functor f => Applicative (f :: * -> *) where
  pure :: a -> f a
  (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b
  GHC.Base.liftA2 :: (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c
  (*>) :: f a -> f b -> f b
  (<*) :: f a -> f b -> f a
  {-# MINIMAL pure, ((<*>) | liftA2) #-}

我们首先直接解读Monad的定义

  • Monad从Applicative里引申过来，继承了fmap，pure和<*>，因而需要额外特殊实现的只有>>=（bind）。
  • return和Applicative里的pure并无太大差别。
  • >>=使我们可以关注于当前的Monad的值而忽略之前的结果。
  • fail则提供了一个处理错误的机制。

也就是说，Monad在Applicative的基础上新增了bind操作。为了理解这个引入的好处，我们需要整体梳理一下这三个类型类的作用。
（注：以下的论述中，我将a -> f a叫做类型的提升，也有不同的叫法与理解如上下文、环境、盒子等等。对于Maybe、List这样的Monad，我个人觉得类型提升的角度比较好理解，而对于Writer Monda，State Monad等，上下文这种理解可能更加直观。然而他们完全是一样的）

Functor有一个好：fmap将a -> b提升到了f a -> f b上，使我们不必为每一种类型地提升都去特定地去迁移已有的函数。
Applicative有一个好：它使得多元函数（而非简单的a -> b)也得以被提升。这是因为

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  pure (a1 -> a2 -> ... -> an) <*> f a1 <*> f a2 <*> ... <*> f an-1
= f (a1 -> a2 -> ... -> an) <*> f a1 <*> f a2 <*> ... <*> f an-1
= f (a2 -> ... -> an) <*> f a2 <*> ... <*> f an-1
= f an

当然，若是没有<*>的实现，使用liftA2的效果是一样的。
通过这个例子我们可以看到，Applicative其实是Functor的一个多元拓展。
而Monad的好我们在开头已经看到了，它通过>>=将序贯操作组合起来，将类型的匹配与变换规则写入>>=的实现中，使得我们不用在序贯操作中频繁的进行类型的匹配与检查。

总而言之，三者分别实现了这样的功能

  • Functor使得提升后的类型能够被原类型的一元函数所作用，并返回一个提升后的类型
    • fmap (+1) (Just 1) 中，+1这个一元函数从Int->Int提升至Maybe Int->Maybe Int,然后接受Maybe Int并返回计算后的Maybe Int
  • Applicative使得提升后的类型能够被原类型的多元函数所作用，并返回一个提升后的类型
    • pure (+) <*> (Just 3) <*> (Just 5)，+这个二元函数从Int->Int->Int提升至Maybe Int->Maybe Int->Maybe Int,然后接受Maybe Int和Maybe Int并返回计算后的Maybe Int
  • Monad则使得提升后的类型能够被原类型到提升后的类型的一元函数作用。这么做有一个好：将其视为黑箱的话，输入和输出都是提升后的类型，这也是为什么可以很简洁地写出序贯操作。

Monad对于Applicative的加强

Monad允许参数间的相互影响，这是Applicative所无法做到的。一个典型的例子就是List Comprehension，即

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[(x,y)|x<-[1..5],y<-[1..x]]
[1..5] >>= \x->[1..x] >>= \y->return(x,y)

这个特性也算是Monad对于Applicative的一个优越性：计算的值可以依赖于前面的结果。

Monad还有什么用

提升类型有什么好处呢？Maybe或者List这样的提升是很自然也很实用的做法；而另一大想法就是利用其存储额外的信息/状态。而且这使得副作用得以实现（并被很好的隔离开来）。典型的应用如Writer Monad，State Monad， IO Monad。这些在后续的课程中都会有更详细的学习，在这里就先不做过多的介绍了。

*范畴论中的单子

简单说，范畴论并不关心具体的函数对象，而关心对象间的态射及其组合。一个范畴由一组对象和一组态射组成。对于任意两个对象$A\rightarrow B$都存在一个态射的集合$C(A,B)$。而这些态射需要满足复合运算、结合律并对任意对象$A$在$C(A,A)$中存在单位态射。

而Functor本质上是范畴间的态射。一个Functor将范畴$C$里的对象和态射射映射到范畴$D$上，并且保留单位态射与态射间的复合关系。借用Mabye来思考这个问题是有助于理解的。

自函子则是范畴$C$到其自己的函子，并且自函子可以自身复合。

让我们再回头看开头的名言：单子是自函子范畴上的幺半群。我们先想象一下范畴上的幺半群：它只有一个对象$A$，并且有无数$A\rightarrow A$的“自环”——也就是态射，而这些态射的复合就是这个幺半群的运算。现在让我们把对象$A$设定为一个范畴$C$，而这些态射就是所谓的自函子。这些态射中由一个单位自函子$I$，一个自函子$T$及其若干阶复合$T\cdot T,T\cdot T\cdot T,\ldots$。这上面存在着两个自然变换（可以理解为函子到函子的态射）：一个是$I\rightarrow T$，对应着haskell里的return。另一个是$T\cdot T->T$(在范畴论里这称做join). 在haskell里面我们并没有看到这个操作，但事实上它可以由>>=实现。

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> join x = x >>= id
> :t join
join :: Monad m => m (m b) -> m b

如果使用之前盒子的比喻的话，二者一个进行着套盒子的操作，另一个进行着脱盒子的操作。此时Monad作为自函子的幺半群的性质就显现出来了。